Их графики. Функции и графики. Корень n -ой степени, n - нечетное число

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
четность и нечетность;
промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
наклонные и горизонтальные асимптоты;
особые точки функций;
особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Если Вас интересует или , то можете перейти к этим разделам теории.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Навигация по странице.

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 , y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Свойства постоянной функции.

Область определения: все множество действительных чисел.
Постоянная функция является четной.
Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .
Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
Асимптот нет.
Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n -ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n -ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n -ой степени при четных n .

Корень n -ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a . В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a , далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a .

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a . Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,… .

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x .

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,… .

В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола .

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,… .

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность , графиком которой является гипербола .

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,… .

На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a , причем .

Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a , причем .

Приведем графики степенных функций, заданных формулами (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a , графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции , кгода .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции с показателем a , .

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем примеры графиков степенных функций при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0 0 условились не придавать никакого значения).

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а . Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а .

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Школа №77»

Сормовского района г. Нижнего Новгорода

Научное общество учащихся

Графики и их функции

Выполнил: Баканин Тимофей,

ученик 9-А класса

Научный руководитель: Григоренко Л.А.

Г. Нижний Новгород

2016

Содержание

Вступление…………………………………………………………………………………...3

Функциональная зависимость и график функции. Способы задания функции……..4

Простейшие элементарные функции…………………………………………………...5

3.Геометрические преобразования графиков функции…………………………………..11

4.Построение графиков функции………………………………………………………….12

5.Применение графиков функции к решению задач……………………………………..17

Заключение……………………………………………………………………………...22

Список литературы……………………………………………………………………..23

Вступление.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес. Существуют различные способы задания функций: аналитический, табличный, словесный, параметрический, а также графический.

Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, график в силу своей наглядности является незаменимым.

Действительно, график функции есть изображение нашего понимания того, как ведет себя функция. Для этого необходимо знать элементарные функции, их свойства и графики, владеть методикой построения графиков.

В технике и физике часто пользуются именно графическим способом задания функции. Ученый-сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследующий больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер - радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. По мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике.

С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней.

Я выбрал именно эту тему для своей работы, потому что она поможет мне в сдаче экзаменов и интересна сама по себе.

Функциональная зависимость и график функции. Способы задания функции

Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число y , то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной или функцией.

Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать её аргумент.

Если функция задана формулой, то принято считать, что она определена при всех тех значениях аргумента, при которых эта формула имеет смысл, т.е. выполнимы все действия, указанные в выражении, стоящем в правой части формулы.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Способы задания функции:

1)Табличный способ

При этом способе ряд отдельных значений аргумента,…, и соответствующий ему ряд отдельных значений функции,…, задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между x и y и не является наглядным.

2)Словесный способ

Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле y = D ( x ): если x -рациональное число, то значение функции D ( x ) равно 1, а если число x -иррациональное, то значение D ( x ) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D () при заданном значении x =, необходимо каким-либо способом установить, рационально или иррационально число.

3)Графический способ

Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции y = f ( x ). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.

4)Аналитический способ

При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента x можно найти соответствующее значение функции y . В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения y при любом значении x и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.

Простейшие элементарные функции.

1) Линейная:

Свойства:

1. D ( y ) = (−∞; +∞); E ( y ) = (−∞; +∞).

2.Если b = 0, то функция нечетная.

Если b

3. Если х = 0, то у = b , если у = 0, то х = − .

4. Если k > 0, то функция возрастает при х-любое.

Если k < 0, то функция убывает при х-любое.

Построение линейной функции.

Для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две точки. Построить график функции y =2 x +1 .

2) Квадратичная функция: ; .

Свойства:

1. D ( y ) = (−∞; +∞).

2. Если a > 0, то E ( y ) = [у в ; +∞);

Если a < 0, то E ( y ) = (−∞; у в ].

3.Если b = 0, то функция четная.

Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная.

4.Если х = 0, то у = c , если у = 0, то х 1,2 =

5. Если a > 0, то функция возрастает при х[ x в ; +∞);

функция убывает при х(−∞; х в ].

Если a < 0, то функция возрастает при х(−∞; х в ];

функция убывает при х[ x в ; +∞).

Построение параболы.

Определить направление ветвей параболы.

Если, то ветви направлены вверх,

Если, то ветви направлены вниз.

Найти вершину параболы используя две формулы по очереди: и.

Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Oy .

Найти 4 точки графика путем подстановки значений x под формулу.

По найденным точкам построить график.

3) Гипербола:

Свойства:

1. D ( y ) = (−∞; 0) u (0; +∞)

2. E ( y ) = (−∞; 0) u (0 ; +∞)

3. Функция нечетная.

4. х ≠ 0, у ≠ 0.

5. Если k > 0, то функция убывает

при х(−∞; 0) u (0; +∞).

Если k < 0, то функция возрастает

при х(−∞; 0) u (0; +∞).

Построение гиперболы.

Находим область определения

Функция является нечётной , а значит, гипербола симметрична относительно начала координат.

График функции вида представляют собой две ветви гиперболы .

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях .

Используем поточечный метод построения, при этом,

значения x выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело.

4)Функция с модулем:

Построение функции с модулем.

Рассмотрим простейший случай

Для функция совпадает с функцией, а для х<0 - с функцией.

5)Степенная функция:

Свойства:

Если n = 2 k , где k Є Z

1. D ( y )=(−∞; +∞).

2. E ( y )=.

Если n = 2 k +1, где k Є Z

1. D ( y )=(−∞; +∞).

2. E ( y )=(−∞; +∞).

3. Функция нечетная.

4. Если х = 0, то у = 0.

5. Функция возрастает при хЄ(−∞; +∞).

Построение кубической параболы.

Кубическая парабола задается функцией

Находим область определения – x -любое действительное число

Область значений функции- y -любое действительное число.

Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат .

Используя поточечный метод построения, делаем чертеж.

Геометрические преобразования графиков функций.

1)Преобразование вида y = f ( x )+ b

y = f (x ) на b единиц вдоль оси ординат.

Если b > 0, то происходит смещение

Если b <0, то происходит смещение↓

2)Преобразование вида y = f (x – a )

Это параллельный перенос графика функции y = f (x ) на a единиц вдоль оси абсцисс

Если а > 0, то происходит смещение →

Если а < 0, то происходит смещение ←

3)Преобразование вида y = kf (x )

Это растяжение (сжатие) в k раз графика функции y = f (x ) вдоль оси ординат.

Если, | k | > 1, то происходит растяжение

Если, | k | < 1, то происходит сжатие

4)Преобразование вида y = f (mx )

Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f (x ) вдоль оси абсцисс

Если, | m |> 1, то происходит сжатие

Если, | m |< 1, то происходит растяжение

5)Преобразование вида y = | f (x )|

Это отображение нижней части

графика функции y = f (x ) в верхнюю

полуплоскость относительно оси абсцисс

с сохранением верхней части графика

6)Преобразование вида y = f (| x |)

Это отображение правой части графика функции y = f (x ) в левую полуплоскость относительно оси ординат с сохранением правой части графика

Построение графиков функций.

1)Построить график функции y =+

x =-1 и x =1 – точки излома

2) Построить график функции y =

y =

3) Построить график функции y =,

Область определения: x ≠0

y =

4) Построить график функции y =

Область определения: x ≠1

1)≥0 2) <0

≥1 <1

≥1 -1< x <1

x ≤-1 , x ≥1 y ==- x -1

так как x ≠1, то x ≤-1, x >1

y == x +1

5) Построить график функции y =

Область определения: x ≠1

=1,5±0,5

=2, =1

1) x-1>0, x>1

y===x-2

y=x-2, x>1

2) x-1<0, x<1

y==-x+2

y=-x+2, x<1

6) Построить график функции y =+

y=+=+

x<-2, y=-x+1-x-2=-2x-1

-2≤x≤1, y=-x+1+x+2=3

x≥1, y=x-1+x+2=2x=1

7) Построить график функции y =

Область определения: -1≠0, x ≠±1

1) x -1>0, x >1, y ==

2) x-1<0, x<1, y==

y= (x) =

y=(x) =(x-1) =

y =(x ) =(-x)== -

8) Построить график функции y =

Область определения: x ≠0

Функция нечетная, то ветви графика симметричны относительно начала координат.

Применение графиков функций к решению задач.

1)При каких значениях параметра k уравнение
= k имеет два корня?

Решение.

1. k ≥0

2.Построим график y =

a ) Область определения функции: x ≠±1.

б)

в) Поскольку функция четная, гипербола симметричная относительно оси Oy .

3.Так как уравнение имеет 2 корня, прямая y = k должна пересекать график в двух точках. Следовательно, 1< k <2. Заметим, что при k =2 будет три корня.

2)При каких значениях параметра k уравнение

= k имеет 4 корня?

Решение.

Правая часть уравнения может быть только неотрицательной, то есть k ≥0.

Построим график функции

a )

б)

Ответ:

а) Если k =0, то уравнение имеет 4 корня(-4;-2;2;4)

б) Если 1< k <8, то уравнение имеет 4 корня(-5,5;-0,5;0,5;5,5)

3)Решить неравенство

x -1 <

Решение.

1.Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций

y = x -1 и y =.

2.Решим уравнения:

А) x -1=-5 x +4 Б) x -1= -(-5 x +4)

x -1= -+5 x -4

=5, =1 =0

=3, =1.

3.Построим графики функций

y = x -1 и y =

y =

= - = 2,5

(2,5;-2,25)-вершина параболы.

y =0: -5 x +4=0

=2,5±1,5

=4; =1

y (0)=4

Ответ: x <1,1< x <3, x >5.

4) Решить уравнение 1-=.

Решение.

Изобразим в одной системе координат графики функций y =1- и y =

Графики пересеклись в точке (-1;2). Следовательно, корень данного уравнения x =-1.

Ответ: x= -1

Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая будет пересекать построенный график в трёх точках.

Решение .

Построим график функции

Из графика видно, что прямая у = с будет иметь с графиком ровно три точки пересечения при с принадлежащим множеству: (0;5).

Ответ: (0; 5).

Постройте график функции у = и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой у= k х.

Решение.

Область определения: х и х

Преобразуем функцию к виду: у = . График - прямая у = х-3 без двух точек (-3; -6) и (9; 6).

Прямая у= k х не будет иметь с построенной прямой общих точек, если она будет ей параллельна, т. е. при k =1, и если она будет проходить через выколотые точки. Через первую из этих точек прямая проходит, если k =2, а через вторую - если

k =

Ответ: ; 1;2.

Заключение

Выполнив данную работу, я научился выполнять построение графиков функций при помощи геометрических преобразований. Это поможет мне решать различные типы задач (неравенства, уравнения, задачи с параметром) графическим способом. Таким образом я готовлюсь к успешной сдаче экзамена ОГЭ и ЕГЭ.

Список литературы:

Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение. Пособие для поступающих в вузы. – М.: АРКТИ, 2001

Дороднов А.М. и др. Графики функции. Учебное пособие для поступающих в вузы. М., «Высш.школа», 1972

Гельфанд И.М., Е.Г. Глаголева, Э.Э. Шноль Функции и их графики «Наука» Москва 1971

Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: М.: Просвещение, 1985

Открытый банк заданий ФИПИ

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2011

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Определение 1

постоянная функция (константа);
корень n -ой степени;
степенная функция;
показательная функция;
логарифмическая функция;
тригонометрические функции;
братные тригонометрические функции.

Постоянная функция определяется формулой: y = C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C .

График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0 , С) . Для наглядности приведем графики постоянных функций y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

Определение 2

Данная элементарная функция определяется формулой y = x n (n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

Корень n -й степени, n – четное число

Для наглядности укажем чертеж, на котором изображены графики таких функций: y = x , y = x 4 и y = x 8 . Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Определение 3

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [ 0 , + ∞) ;
когда x = 0 , функция y = x n имеет значение, равное нулю;
данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
область значений: [ 0 , + ∞) ;
данная функция y = x n при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
отсутствуют точки перегиба;
асимптоты отсутствуют;
график функции при четных n проходит через точки (0 ; 0) и (1 ; 1) .

Корень n -й степени, n – нечетное число

Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y = x 3 , y = x 5 и x 9 . На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.

Определение 4

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

область определения – множество всех действительных чисел;
данная функция – нечетная;
область значений – множество всех действительных чисел;
функция y = x n при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
функция имеет вогнутость на промежутке (- ∞ ; 0 ] и выпуклость на промежутке [ 0 , + ∞) ;
точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) ;
асимптоты отсутствуют;
график функции при нечетных n проходит через точки (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) и (1 ; 1) .

Степенная функция

Определение 5

Степенная функция определяется формулой y = x a .

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

когда степенная функция имеет целый показатель a , то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
показатель степени может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0 < a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.

Разберем степенную функцию y = x a , когда a – нечетное положительное число, например, a = 1 , 3 , 5 …

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x (черный цвет графика), y = x 3 (синий цвет графика), y = x 5 (красный цвет графика), y = x 7 (зеленый цвет графика). Когда a = 1 , получаем линейную функцию y = x .

Определение 6

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (исключая линейную функцию);
точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) (исключая линейную функцию);
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Разберем степенную функцию y = x a , когда a – четное положительное число, например, a = 2 , 4 , 6 …

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x 2 (черный цвет графика), y = x 4 (синий цвет графика), y = x 8 (красный цвет графика). Когда a = 2 , получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.

Определение 7

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

область определения: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
убывающей при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
очки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – нечетное отрицательное число: y = x - 9 (черный цвет графика); y = x - 5 (синий цвет графика); y = x - 3 (красный цвет графика); y = x - 1 (зеленый цвет графика). Когда a = - 1 , получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.

Определение 8

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1 , - 3 , - 5 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;

область значений: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
функция является нечетной, поскольку y (- x) = - y (x) ;
функция является убывающей при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0) и вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
точки перегиба отсутствуют;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда а = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – четное отрицательное число: y = x - 8 (черный цвет графика); y = x - 4 (синий цвет графика); y = x - 2 (красный цвет графика).

Определение 9

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

область определения: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2 , - 4 , - 6 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;

функция является четной, поскольку y (- x) = y (x) ;
функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; 0) и убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y = 0 , поскольку:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал - ∞ ; + ∞ , оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [ 0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Итак, разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0 < a < 1 .

Проиллюстрируем графиками степенные функции y = x a , когда a = 11 12 (черный цвет графика); a = 5 7 (красный цвет графика); a = 1 3 (синий цвет графика); a = 2 5 (зеленый цвет графика).

Иные значения показателя степени a (при условии 0 < a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Определение 10

Свойства степенной функции при 0 < a < 1:

область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
функция имеет выпуклость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;

Разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a > 1 .

Проиллюстрируем графиками степенную функцию y = x a в заданных условиях на примере таких функций: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).

Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.

Определение 11

Свойства степенной функции при a > 1:

область определения: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
функция имеет вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) (когда 1 < a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Обращаем ваше внимание!Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y = x a при условии: - 1 < a < 0 .

Приведем чертеж графиков следующий функций: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).

Определение 12

Свойства степенной функции при - 1 < a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда - 1 < a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

область значений: y ∈ 0 ; + ∞ ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
точки перегиба отсутствуют;

На чертеже ниже приведены графики степенных функций y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).

Определение 13

Свойства степенной функции при a < - 1:

область определения: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда a < - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y = 0 ;
точка прохождения функции: (1 ; 1) .

Когда a = 0 и х ≠ 0 , получим функцию y = x 0 = 1 , определяющую прямую, из которой исключена точка (0 ; 1) (условились, что выражению 0 0 не будет придаваться никакого значения).

Показательная функция имеет вид y = a x , где а > 0 и а ≠ 1 , и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a . Рассмотрим частные случаи.

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0 < a < 1) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).

Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0 < a < 1 .

Определение 14

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к + ∞ ;

Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а > 1) .

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Определение 15

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

область определения – все множество действительных чисел;
область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
функция имеет вогнутость при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к - ∞ ;
точка прохождения функции: (0 ; 1) .

Логарифмическая функция имеет вид y = log a (x) , где a > 0 , a ≠ 1 .

Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x ∈ 0 ; + ∞ .

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0 < a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Определение 16

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к + ∞ ;
область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
логарифмическая
функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже –графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Определение 17

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к - ∞ ;
область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ (все множество действительных чисел);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
логарифмическая функция является возрастающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
функция имеет выпуклость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точка прохождения функции: (1 ; 0) .

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f (x + T) = f (x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

Функция синус: y = sin (х)

График данной функции называется синусоида.

Определение 18

Свойства функции синус:

область определения: все множество действительных чисел x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
функция обращается в нуль, когда x = π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
функция является возрастающей при x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
функция синус имеет локальные максимумы в точках π 2 + 2 π · k ; 1 и локальные минимумы в точках - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
функция синус вогнутая, когда x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
асимптоты отсутствуют.

Функция косинус: y = cos (х)

График данной функции называется косинусоида.

Определение 19

Свойства функции косинус:

область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
наименьший положительный период: Т = 2 π ;
область значений: y ∈ - 1 ; 1 ;
данная функция – четная, поскольку y (- x) = y (x) ;
функция является возрастающей при x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2 π · k ; 1 , k ∈ Z и локальные минимумы в точках π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
функция косинус вогнутая, когда x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
асимптоты отсутствуют.

Функция тангенс: y = t g (х)

График данной функции называется тангенсоида.

Определение 20

Свойства функции тангенс:

область определения: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
Поведение функции тангенс на границе области определения lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким образом, прямые x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
функция обращается в нуль, когда x = π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
функция является возрастающей при - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z ;
функция тангенс является вогнутой при x ∈ [ π · k ; π 2 + π · k) , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
точки перегиба имеют координаты π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Функция котангенс: y = c t g (х)

График данной функции называется котангенсоида.

Определение 21

Свойства функции котангенс:

область определения: x ∈ (π · k ; π + π · k) , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);

Поведение функции котангенс на границе области определения lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким образом, прямые x = π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;

наименьший положительный период: Т = π ;
функция обращается в нуль, когда x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
функция является убывающей при x ∈ π · k ; π + π · k , k ∈ Z ;
функция котангенс является вогнутой при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k) , k ∈ Z ;
точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

Функция арксинус: y = a r c sin (х)

Определение 22

Свойства функции арксинус:

данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
функция арксинус имеет вогнутость при x ∈ 0 ; 1 и выпуклость при x ∈ - 1 ; 0 ;
точки перегиба имеют координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
асимптоты отсутствуют.

Функция арккосинус: y = a r c cos (х)

Определение 23

Свойства функции арккосинус:

область определения: x ∈ - 1 ; 1 ;
область значений: y ∈ 0 ; π ;
данная функция - общего вида (ни четная, ни нечетная);
функция является убывающей на всей области определения;
функция арккосинус имеет вогнутость при x ∈ - 1 ; 0 и выпуклость при x ∈ 0 ; 1 ;
точки перегиба имеют координаты 0 ; π 2 ;
асимптоты отсутствуют.

Функция арктангенс: y = a r c t g (х)

Определение 24

Свойства функции арктангенс:

область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
область значений: y ∈ - π 2 ; π 2 ;
данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
функция является возрастающей на всей области определения;
функция арктангенс имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
горизонтальные асимптоты – прямые y = - π 2 при x → - ∞ и y = π 2 при x → + ∞ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).

Функция арккотангенс: y = a r c c t g (х)

Определение 25

Свойства функции арккотангенс:

область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
область значений: y ∈ (0 ; π) ;
данная функция – общего вида;
функция является убывающей на всей области определения;
функция арккотангенс имеет вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) и выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
точка перегиба имеет координаты 0 ; π 2 ;
горизонтальные асимптоты – прямые y = π при x → - ∞ (на чертеже – линия зеленого цвета) и y = 0 при x → + ∞ .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter